(x,y), (2, 3) এবং (5, 1) একই সরলরেখায় অবস্থিত হলে সরলরেখাটির সমীকরণ কোনটি?

সরলরেখার সমীকরণ (Equation of Straight Line)

স্থানাংক জ্যামিতিতে কোনো সরলরেখার অবস্থানকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করার জন্য যে সমীকরণ ব্যবহৃত হয় তাকে সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়।

সরলরেখার সাধারণ রূপ

$ax+by+c=0$

এখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b একসাথে শূন্য হবে না।

ঢাল-ছেদ রূপ (Slope-Intercept Form)

যদি কোনো সরলরেখার ঢাল m এবং y-অক্ষকে c বিন্দুতে ছেদ করে, তবে রেখার সমীকরণ হবে:

$y=mx+c$

এখানে,

• m = রেখার ঢাল
• c = y-অক্ষে ছেদক

উদাহরণ

যদি রেখার ঢাল 2 এবং y-অক্ষে ছেদক 3 হয়, তবে সমীকরণ:

$y=2x+3$

এক বিন্দু ও ঢাল দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি কোনো রেখা

$(x_1,y_1)$

বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং রেখার ঢাল m হয়, তবে সমীকরণ:

$y-y_1=m(x-x_1)$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং ঢাল 4 হয়, তবে

$y-3=4(x-2)$

দুই বিন্দু দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি একটি রেখা

$(x_1,y_1)$

এবং

$(x_2,y_2)$

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (1, 2) এবং (3, 6) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে

$\frac{y-2}{6-2}=\frac{x-1}{3-1}$

অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা

x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে y এর মান ধ্রুবক হবে।

$y=k$

y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে x এর মান ধ্রুবক হবে।

$x=k$

ছেদক রূপ (Intercept Form)

যদি কোনো রেখা x-অক্ষকে a এককে এবং y-অক্ষকে b এককে ছেদ করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

লম্ব রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়।

$m_1{m}_2=-1$

সমান্তরাল রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢাল সমান হলে রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হয়।

$m_1=m_2$

বিশেষ তথ্য

• ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
• ঢাল ঋণাত্মক হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
• ঢাল শূন্য হলে রেখা অনুভূমিক হয়
• ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা উল্লম্ব হয়

মনে রাখার উপায়

সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সূত্র হলো:

$y-y_1=m(x-x_1)$

এটিকে Point-Slope Form বলা হয়।